Recherche sur les mécanismes physico chimiques d'élimination des particules en suspension

Par Hamid AIT-AMAR et Valentin HERAULT

Département des Industries Alimentaires

INSTITUT NATIONAL DES INDUSTRIES LÉGÈRESBOUMERDÈS — ALGÉRIE

INTRODUCTION

La filtration se définit comme l'opération unitaire conduisant à la séparation de deux phases hétérogènes en présence, liquide-solide ou gaz-solide, par le passage de la phase fluide à travers un médium poreux sous l'action d'un gradient de pression, la phase solide étant retenue sur ce médium : il s'ensuit un colmatage progressif du milieu filtrant. C'est la filtration dans la masse ou en profondeur très utilisée dans la clarification des eaux moyennement chargées.

L'objet de cette étude vise l'amélioration de l'efficacité des filtres, la diminution des pertes de charge et l'obtention d'une séparation plus fine par la recherche de médias plus performants. Cette investigation est basée sur l'étude des mécanismes physico-chimiques d'élimination des particules avec une approche théorique et des méthodes expérimentales.

L'analyse théorique conduit à la prédiction des mécanismes prépondérants dans l'élimination des particules en suspension dans un système donné, et à la détermination des paramètres affectant ces éliminations et pouvant être manipulés en pratique.

À cet effet, une série d'essais expérimentaux sont réalisés sur une unité pilote de laboratoire. Divers médias filtrants sont testés entre autres le sable soumis à un traitement aux polyélectrolytes, polymères cationiques, pour déterminer leur effet sur les potentiels de média et par suite les éliminations électrocinétiques.

Cette étude peut être présentée en trois parties : 1° Aspects théoriques et mécanismes dans la filtration de l'eau. 2° Prédiction de l'efficacité des filtres et évaluation des divers mécanismes. 3° Méthodes et résultats expérimentaux.

I — ASPECTS THÉORIQUES ET MÉCANISMES DANS LA FILTRATION DE L’EAU

L’ensemble des travaux sur la filtration ont porté, surtout, sur les caractéristiques hydrauliques du filtre comme les pertes de charge, le contrôle de la vitesse d’écoulement et la turbulence...

Le fonctionnement du filtre est souvent rapporté en termes de difficultés que l'on a à comparer les performances des différents filtres ou le même filtre dans des conditions opératoires variées.

Le développement de la recherche s'est fait, ces dernières années, dans cette direction, toutefois beaucoup plus dans le domaine de la filtration de l’air que de l’eau.

1.1 — Équations de filtration

En 1937, Iwasaki a pour la première fois constaté que la modification de la concentration de particules en suspension par unité de profondeur filtrante à travers une colonne de médium granulaire est proportionnelle à la concentration instantanée — ainsi :

(1) dC/dl = −λC

(λ est le coefficient de filtration mesurant l’efficacité d'un filtre, il est fonction des conditions prévalant dans celui-ci au moment de la mesure).

Des équations analogues ont été établies et appliquées en génie chimique particulièrement dans la filtration des gaz à travers un médium fibreux. Dans ce cas, l'élimination des particules est fonction de la contribution des fibres individuelles (ou des grains, s'il s’agit d'un médium granulaire) et qu'une fibre ou un grain retient toutes les particules suivant un certain pourcentage de sa surface transversale face au flux. Cette fraction représente l’efficacité d’un grain individuel η ; ainsi, pour un grain sphérique de diamètre dₘ, la section transversale est π/4 dₘ², et toutes les particules de moins de π/4 dₘ² seront éliminées.

En considérant un filtre de surface superficielle A, de profondeur dl, de porosité f, et de concentration instantanée c, le volume des grains dans l’élément de profondeur du filtre est égal à A dl (1 − f). Le nombre de grains dans la profondeur élémentaire du filtre est de :

A dl (1 − f)  
———————  
π/6 dₘ³

Par suite, l’élimination sera :

Δc = −A dl (1 − f) π/4 dₘ² γc / (π/6 dₘ³)

ou encore :

dC/dl = 1,5 (1 − f) γc / dₘ

Ainsi il apparaît que :

λ = 1,5 (1 − f) γ / dₘ (2)

Plus tard, Chen a observé que dans le cas de fibres cylindriques,

η_eff = η_th × (1,5 + 4,5 (1 − f))

dans ce cas, l'interférence fait croître l'efficacité de l’ensemble des fibres. Toutefois, cette observation n’est valable que pour des fibres filtrantes de porosité f > 0,9. Ces données ne semblent pas disponibles pour les media granulaires et l'interférence peut soit améliorer soit diminuer la performance. Puisque la porosité de la plupart des media varie seulement dans un intervalle réduit, l’équation (2), avec un coefficient empirique K, doit nécessairement être prise avec précaution :

λ = 1,5 K (1 − f) / dₘ

On définit γ comme le rapport de la surface suivant laquelle toutes les particules sont considérées éliminées à une distance amont suffisamment éloignée durant la perturbation due au filtre, à la surface de la section transversale du grain en mouvement face au flux.

1.2 — Coefficient de filtration

Le coefficient de filtration dépend surtout des propriétés se rapportant au système, des propriétés du fluide (viscosité), des propriétés des particules en suspension (dimension, forme, nature...) et enfin des conditions opératoires (débit, température). On a observé que l'efficacité d'un filtre croît dès la mise en marche une fois le floc formé déposé.

Iwasaki (20) et plus tard Stein (28) avaient utilisé une équation linéaire :

λ = λ₀ + c s (3)

où s est le dépôt spécifique du précipité (volume déposé par unité de volume du lit), c est une constante, λ₀ est le coefficient de filtration pour un filtre propre — lorsque s = 0. L'équation ci-dessus implique une amélioration continue de l’efficacité du filtre, surtout quand un précipité s’est déposé. Toutefois, ceci est contraire aux considérations expérimentales, hydrodynamiques et géométriques. Ives a donné l’équation suivante :

λ = λ₀ (c − s²) (4)

où c est une nouvelle constante.

On remarque dans l’équation (4) que λ est relié à deux paramètres fondamentaux f et s. Les constantes λ₀, c et ϕ seront constantes seulement pour un système déterminé et des conditions d’exploitation spécifiques, et il est probable que chacune d’elles dépende de plusieurs paramètres fondamentaux du système.

La récente recherche de Ives et coll. a permis de mettre en corrélation les constantes λ₀, c et ϕ avec les trois paramètres principaux d’un système de filtration donnés ci-dessous :

λ₀ = d₀ + c s − kK₁ ... (5a)

c = K₂ / (dₚ V₀ μ²)      (5 b)
Φ = K₃ / (dₚ V₀ μ¹·²)   (5 c)

où K₁, K₂, K₃ sont des constantes, V₀ est la vitesse superficielle, μ est la viscosité de l’eau. Ces constantes semblent dépendre des propriétés des particules en suspension, comme la densité, la dimension, la nature et aussi de celles du médium y compris la forme et la nature. Il demeure que les exposants de la viscosité (2 et 1,2) restent à justifier. Ces relations sont d’usage limité puisque K₁, K₂, K₃ sont déterminées expérimentalement pour chaque système. Les relations ci-dessus sont nécessaires pour évaluer l’importance de plusieurs paramètres et pouvoir envisager une direction de recherche dans le domaine de la filtration.

1.3 — Mécanismes d’élimination des particules

La plupart de ces mécanismes sont purement physiques, comme par exemple le filtrage, la décantation dans les interstices, l’interception (ou chance de contact), l’impaction (ou inertie de collision), et la diffusion brownienne. Ces mécanismes permettent d’expliquer les divers phénomènes observés au cours de la filtration et qui sont fonction uniquement des paramètres du système, comme la viscosité de l’eau, la vitesse de filtration, la dimension du médium, la densité et la dimension des particules en suspension. Ils ne sont pas affectés par la nature réelle ou les propriétés chimiques telles que le pH et la concentration ionique de la suspension. Cependant, la plupart des mécanismes proposés semblent dépendre des propriétés du système comme, par exemple, les forces moléculaires (ou de Van der Waals), l’attraction électrique et la répulsion entre les particules chargées et le médium, les zones de migration ou de repos dans les interstices du filtre et la coagulation dans le filtre.

Dans ce travail, les relations empiriques sont comparées de même que les résultats expérimentaux observés et une corrélation est établie pour les divers mécanismes proposés. Les sections suivantes donnent un bref aperçu de l’appréhension et de l’analyse des divers mécanismes dans le domaine de la filtration de l’eau.

1.3.1 — Mécanisme de filtrage

Ce mécanisme est le plus simple et aussi le plus classique. On attribue la majeure partie des éliminations à ce mécanisme avec, en même temps, précipitation par gravité et inertie d’impaction.

On schématise l’élimination due à ce mécanisme par les dimensions relatives des pores du médium et des particules en suspension. Si une suspension était à flux à travers un filtre dont les pores sont de plus petite dimension que les particules, celles-ci seront retenues dans la zone amont du filtre, de même que dans les capillaires sinueux à section transversale variable.

[Figure : coupe transversale théorique d’une constriction du filtre]

En supposant que la surface des grains de médium soit beaucoup plus grande que la dimension de la constriction, la surface entre les arcs peut se rapprocher des surfaces entre les cordes. La zone de constriction, de plus faible dimension que celle de la particule dₚ, est montrée à la figure 1.

Si dₚ < dₘₒ (cas normal dans les filtres granulaires) :

dₚ² = dₚ² / 2

Puisqu’il y a trois constrictions par interstice, la surface totale de la plus petite constriction que dₚ, par interstice, sera :

Aₙ = 3 a₁² / 2

Aussi, la surface totale de l’interstice sera :

A = 4 a₂² − 3 a₁² = 0,040 aₚ²

La fraction de particules éliminées sera :

φ = Aₙ / A = 26,5 (a₁ / aₚ)¹·⁵      (6)

Par introduction d’une constante c due à la variation des profils de vitesses et de la géométrie, la fraction de particules éliminées de dimension dₙ,

= 26,5 c (dₙ/dₘ)¹·⁵

Hall (16) donnait la fraction éliminée comme étant de 3/5 (dₙ/dₘ)¹·⁵ ; celle-ci peut être transformée facilement en λ₀ pour fournir une base de comparaison avec d'autres mécanismes.

Ainsi pour le filtrage simple :

λ₀ = 3/2 3,5 (dₙ/dₘ)³/²

ou encore

(λ₀)³ = 3,5 dₙ³/² dₘ⁻⁵/²

Les valeurs calculées par Hall et comparées à celles obtenues dans nos expériences concordent parfaitement pour les flocs de 10-25 microns. Cependant, les données expérimentales sont valables pour un système simple avec un même dₙ et même dₘ, la valeur de c est déduite aussi suivant les données similaires. Jusqu'ici, cet accord est observé pour plusieurs systèmes différents avec dₙ, dₘ et vitesses variables. On ne peut affirmer que ce mécanisme soit prépondérant particulièrement dans l’élimination de petites particules en p.v.c. de 1,3 micron dans le système de Ives, pour lequel l’équation (8) donnait une valeur de λ₀ d’environ 0,01 pour un filtre à sable de 0,5 mm de diamètre, contre 0,06 observé.

L’analyse faite ci-dessus suppose que les particules soient uniformément distribuées sur toute la section transversale des pores et que l’action des forces de viscosité ou de frottement soit nulle.

Pratiquement, la distribution de la vitesse et la concentration de particules dans les pores varient d'un point à un autre et les particules sont supposées retenues par les interstices les plus encaissées qui, par conséquent, auront des vitesses de flux les plus faibles et la moindre concentration en particules, la majeure partie de la suspension étant poussée au centre par les forces de viscosité.

Ainsi, un calcul simple de progression géométrique permet d’évaluer grandement la contribution du mécanisme.

Cette formulation est sujette à des critiques du fait que les surfaces qui ne sont pas planes mais courbes et obliques font que les particules retenues en un point pourraient glisser, pour aller dans les zones de crevasses plus larges. Cependant, on s’accorde à dire que l’action des forces moléculaires fixe les particules au point de leur rétention.

1.3.2 — Clarification par gravité

Celle-ci a, souvent, été considérée comme le mécanisme le plus significatif d’élimination des particules. Les interstices offrent des sites de décantation peu profonds avec une certaine surface de charge. Selon Ranz (26),

le pouvoir de rétention d’un grain individuel de médium dû à la décantation par gravité est égal au rapport de la vitesse de décantation des particules et de la vitesse superficielle du fluide V₀, d’où :

dₙ =

où G est le paramètre de gravitation sans dimension. Par suite,

Pour le sable, la porosité f est souvent de 0,4 ou proche et, dans le système CGS, g = 9,81 cm/s² ; par suite nous obtenons :

Il convient de mentionner que l’équation (9) a été développée par Ranz dans le cas d’une séparation de particules d’aérosols du courant gazeux s’écoulant horizontalement à travers le filtre.

Dans une filtration d'eau, l’écoulement du fluide est dans une direction verticale avec une vitesse bien plus élevée que la vitesse de décantation. Par conséquent, l’équation de Ranz n’est pas d'application étendue.

1.3.3 — Interception (ou captation)

Cette terminologie est utilisée en génie chimique pour décrire la fraction éliminée du fait du rapprochement du centre de la particule en suspension de la surface du collecteur suivant son propre rayon et, ainsi, d’entrer en contact avec celle-ci.

Seules les forces de viscosité du fluide semblent avoir une influence sur les particules supposées suivre exactement les lignes de courant du fluide.

Le mécanisme d’élimination est illustré par la figure 2.

Lorsqu’un écoulement rencontre un obstacle sphérique, les lignes de courant qui, initialement, étaient parallèles et uniformément espacées fléchissent au voisinage de la zone interstitielle encombrée pour conduire le flux total dans les zones réduites, et cela suppose un écartement variable en différents points. La surface de l'obstacle devient elle-même une ligne de courant avec une vitesse zéro. La courbure des lignes de courant est fonction du nombre de Reynolds : N₀ (ρV₀dₘ/η). Aux valeurs élevées de N₀ (c’est-à-dire dans les conditions de turbulence), les lignes de courant conservent leur alignement original parallèle jusque dans les limites d’un certain diamètre, loin de l'obstacle, puis s'incurvent brusquement et nettement. À des valeurs de N₀ faibles (flux laminaire, par exemple), les lignes de courant commencent à dévier de façon graduelle de leur trajectoire bien avant l’obstacle pour l’éviter complètement.

ou encore λ₀ = d₀² (16)

L’interception a souvent été appelée « chance de contact », et P. C. Stein (28) propose la relation pₓ ∝ d₀/d_min où pₓ est la probabilité d’élimination. Cette expression concorde avec l’équation (15) applicable à l’interception.

1.3.4 — L’impaction

L’impaction est souvent appelée « inertie de collision ou de choc ». En raison de leur inertie, les particules n’adhèrent pas à la courbure des lignes de courant en s’approchant de l’obstacle, mais tendent à suivre la direction originale du flux. Ainsi, elles possèdent une plus grande chance de collision que prévu si elles avaient à suivre les lignes de courant du fluide, c’est-à-dire par pure interception.

La trajectoire est donnée par l’équation suivante :

dv/dt = 3π a₂ μ (V – v) (17)

(v = vitesse de la particule)(V = vitesse du fluide)

Par conversion à v, V et t sans dimension et par substitution :

V = V₀ V ; v = V₀ v ; τ = t a₂/2V₀

nous obtenons :

a₂ v²/τ = 3π d₀ μ V₀ (V – v)

Par suite :

π d₀² v/dτ = a₂ ρ_p = 3π d₀ μ V₀ (V – v)

ou encore :

dv/dτ = (V – v)/I  où I = (ρ_p d₀ V₀)/(18 μ)

I sera appelé paramètre d’inertie.

En coordonnées polaires nous aurons :

dv_θ/dτ = V_θ – v_θ  (18)
dv_r/dτ = V_r – v_r

V_r et V_θ étant connus pour les lignes de courant du fluide, v_r et v_θ et, par conséquent, les trajectoires des particules pour une valeur donnée de I peuvent être calculés numériquement.

Dans les filtrations d’eau, I est habituellement bas du fait des faibles vitesses, d’une viscosité élevée et d’un grand diamètre de collecteur. Ainsi, pour un filtre à sable avec un diamètre de 0,5 mm, V₀ de 0,135 cm s⁻¹, μ de 10⁻² poises, ρ_p de 2 et un d₀ de 10 µm, on obtient I ≈ 6 × 10⁻⁶. Pour les particules plus petites et plus légères, I est encore plus faible.

Pour vérifier si aucune élimination par impaction ne résulte de ces faibles valeurs de I, les trajectoires de particules sont calculées suivant l’équation (18) et les efficacités d’élimination analysées. Les résultats de cette analyse sont présentés dans la partie suivante. En somme, l’effet d’impaction est significatif seulement lorsque I > 10⁻², ce qui est le cas normal.

1.3.5 — Mouvement brownien ou diffusion brownienne

Les particules en suspension dans un milieu fluide sont en mouvement perpétuel au hasard avec des vitesses variables, la vitesse moyenne étant proportionnelle à kT, où k est la constante de Boltzmann et T la température absolue en kelvins.

En général, le nombre de particules se déplaçant dans une direction donnée est le même que celui se déplaçant dans la direction opposée. Ainsi, la concentration n’est pas affectée par ce mouvement aléatoire appelé mouvement brownien. Cependant, si les particules entrent en collision avec les parois du récipient ou la surface d’un obstacle, elles seront adsorbées ou autrement retenues. Un gradient de concentration se développe alors au voisinage de la surface du collecteur ; le flux de particules vers celui-ci est donc plus important dans cette direction.

Un ensemble de flux semblable à la diffusion moléculaire, dû aux gradients de concentration engendrés par le mouvement brownien, est appelé diffusion brownienne. Einstein (12) a montré que la première loi de Fick relative à la diffusion, flux = –D dc/dy, s’applique à cet ensemble de particules, où dc/dy est le gradient de concentration et D le coefficient de diffusion brownienne. Einstein montra que :

D_BM = kT / (3π μ d_p) (19)

où k = 1,38 × 10⁻²³, pour T = 300 K et μ = 10⁻² poises dans l’eau.

différentes dimensions sont données dans le tableau ci-dessous :

TABLEAU 2 Coefficient de diffusion brownienne pour les particules dans l'eau

Diamètre de la particule en µm	D_BM (cm² / s)
0,1	4,4 × 10⁻⁸
1,0	4,4 × 10⁻⁹
2,0	2,2 × 10⁻⁹
5,0	0,9 × 10⁻⁹
10,0	0,4 × 10⁻⁹

Tous les auteurs s'accordent sur l'efficacité du récepteur régi par le nombre de Peclet, paramètre sans dimension, Pe (= V₀ dₚ / D_BM). Cependant, les relations exactes ont différentes formes.

Certaines approches et équations sont résumées ci-dessous :

1°  Approche de Langmuir : Langmuir définit xₐ comme l'épaisseur de la couche fluide à partir de laquelle les particules sont éliminées et déduit :

          xₐ       D_BM  
          ―― = 1,12 ────────                                         (20)  
           α        V₀ dₚ F(N_R)

          F(N_R) est la fonction du nombre de Reynolds qui est de 1 pour un flux laminaire autour des obstacles cylindriques :

          γ = τ(N_R) = 2 (200 – log N_R) / …                          (21)

2°  Approche de Johnstone-Roberts et Ranz : L'analogie de transfert de masse et de chaleur a été appliquée au problème du récepteur de particules et Ranz déduit l'expression suivante :

           dₚ          1/3      1/6  
          ――― = 1 + 0,55 (Pe) (N_R)                                   (22)  
           xₘ           π  

          γ = π (Pe)⁻¹ ( dₚ / xₘ )

où xₘ est l'épaisseur du film de limite fictive et dₚ/dₛ le nombre de Nusselt des phénomènes de transport.

3°  Approche de Freidlander : Cette approche s'applique à un collecteur cylindrique. Pour un collecteur sphérique, avec x et y comme coordonnées cartésiennes généralisées, l'effet de diffusion en un point sera :

          ∂C          ∂²C     ∂²C  
Pe ――― = x ∂C + ── + ── ,                                          (24)  
          ∂t          ∂x²     ∂y²  

(en convertissant à la forme sans dimension en notant : t̄, ā, x̄, c̄)

en multipliant des deux côtés par dₚ / 2 et en faisant dₚ / dₛ = R, nous obtenons :

          sin² ā = x̄

La solution de cette équation différentielle sera de la forme :

          C = f(x, y, z).

Aussi le flux de particules en un point quelconque

          dq̇ = …

Toutes les particules atteignant y = dₚ / 2, c'est-à-dire à une distance égale au rayon de la particule par rapport à la surface de la particule, seront éliminées. Par suite, l'élimination totale par un collecteur sera donnée par :

          C₀ D_BM α n dₚ  
          ――――――――――――――  
              dₚ / 2

x et y disparaissent en raison des valeurs prises pour y = 1 et intégration sous la série complète des x. Ainsi, l'efficacité totale d'un collecteur unique sera égale à :

          C₀ D_BM α n  
          ―――――――――――― = …                                          (25)  
             dₚ / 2

Particules retenues / Particules totales devant être retenues

γ = π d_c² d_s D_BM  
─────────────── F′ (R² · P_e) π d_vC_v0  
    d_s/2  V_∞ d_s/2

   D_BM  d_s/2     D_BM  d_s/2  
= ────────   F′ (R² · P_e) = ── F′ (R² · P_e)  
  V_∞ d_s/2                 V_∞ d_s/2

En conséquence, γ · P_e · R = F′ (R² · P_e) = C (R² · P_e)ⁿ — où C est une constante.

Lorsque R est grand et D_BM faible, l’élimination sera entièrement par interception. Pour établir γ indépendant de P_e, n sera égal à 1, c’est-à-dire γ ∝ R², identique à la relation obtenue dans l’équation (14).

Quand la dimension de la particule tend vers zéro, c’est-à- dire R → 0, l’élimination sera entièrement par diffusion.

Étant donné que pour ces conditions D_BM sera élevé, pour obtenir une valeur finie de γ exempte de R, on doit avoir :

F′ (R² · P_e) ∝ (R² · P_e)¹⁄³

de telle sorte que :

γ · P_e · R = K_p {u · φ · R = K_p R · P_e¹⁄³} ou encore γ = K_p ε²⁄³

Puisque cette équation n’admet pas d’évaluation exacte de γ, on donne une relation entre γ et P_e lorsque la diffusion due au mouvement Brownien est significative. Dans le cas de filtres fibreux K_p = 1,4, il est probable que cette valeur pour les filtres granulaires sera dans les limites de 1 à 5.

1.4 — Diffusion dans les zones de repos d’un filtre

Compte tenu de l’insuffisance des mécanismes décrits jusqu’ici, Hunter et Alexandre (18) ont proposé un modèle suivant lequel l’espace vide dans le filtre peut être divisé en deux catégories :

1° Les pores de cheminement à travers lesquels les conditions de flux capillaire existent.

2° Les zones de repos ou zones mortes où la vitesse de flux est essentiellement égale à zéro. Les particules en suspension émigrent ou diffusent à partir d’un volume de liquide en mouvement à travers les canaux vers les zones mortes. Cette migration est initialement aidée par le gradient de concentration. Mais la cause principale de la migration semble être la tendance des particules colloïdales à émigrer vers les zones d’effort de contrainte réduite ; une fois dans la zone morte le colloïde coagule, décante et se consolide permettant aux petites particules de diffuser. Les paramètres fondamentaux comme le débit, la vitesse, la dimension, la forme et la nature des media et la résistance du colloïde paraissent influencer le processus.

1.5 — Coagulation dans le filtre

La coagulation demeure la théorie classique d’élimination des particules floculant durant la filtration.

Les particules en suspension coagulent d’abord en grosses particules sous l’effet du mouvement Brownien et des gradients de vitesse existant dans un filtre. Les plus grosses particules résultant de la floculation sont ensuite éliminées par filtrage.

La coagulation est un processus dépendant du temps et la diminution du nombre de particules par coagulation est donnée par l’équation suivante :

1° Mouvement Brownien : …

2° Gradient de vitesse : …

Dans le filtre le temps de rétention t et le gradient dv/dz × t sont assez faibles (< 5 min) et, de ce fait, aucune coagulation appréciable n’en résultera.

Ainsi, même si le nombre de particules était réduit à 10 % par coagulation, l’accroissement en dimension sera d’environ deux fois la dimension originale et les particules de l’ordre d’un micron ne pourront se développer suffi­sam­ ment pour être séparées.

Si la coagulation dans le filtre était significative, l’éli­mi­ nation maximum observée serait dans les couches supé­ rieures, après croissance possible du floc.

1.6 — Forces moléculaires

Celles-ci agissent entre les molécules individuelles proches les unes des autres, offrant ainsi une explication de la cohésion et de l’incompressibilité des liquides et des solides. London (25), sur une base semi-empirique, a formulé l’équation suivante pour les forces d’attraction moléculaires, habituellement appelées forces de London- Van der Waals :

     h ν₀ α₁ α₂  
U = − ────────────  
      r⁶

U est la force d’attraction, h la constante de Planck, r la séparation (centre à centre), α₁ et α₂ les polarisabi­ lités statiques des deux molécules, et ν₀ la fréquence propre au système.

Cette équation est applicable seulement pour l’attraction entre deux oscillateurs isotropiques sphériques, atomes du genre hydrogène. En considérant les molécules en général, les effets et les contributions de la vibration, de l’orientation et de la dispersion peuvent être supposés inclus dans la fréquence propre totale au système ν₀.

Les polarisabilités statiques α₁ et α₂ sont apparentées aux propriétés optiques des espèces moléculaires et peuvent être évaluées en fonction de la variation de

l’indice de réfraction avec la fréquence d’ondes lumineuses.

Précisément :

\( R = \dfrac{4 \pi N_o \alpha}{3} \) (28)

où \( R \) est la réfraction moléculaire, \( N_o \) est le nombre d’Avogadro.

Par substitution des propriétés optiques pour \(\alpha\), l’équation (27) manipulée donne la relation suivante :

\[ U_{13} = \dfrac{2}{3} \dfrac{1}{h r^2} \sum_1 \dfrac{M_1^2 M_3^2}{\nu_1 \nu_3 (\nu_1 + \nu_3)} \] (29)

et

\[ \overline{U} = \dfrac{2}{3} \dfrac{M_1^2 M_2^2}{r^6} \dfrac{1}{kT} \] (30)

Les équations 27, 29 et 30 montrent que la force d’attraction varie inversement comme la puissance 6 de la séparation \( r \) pour un système donné et peut être présentée comme suit :

\[ U_{12} = \dfrac{B_{12}}{r^6} \]

(\( B_{12} \) est la constante de London-Van der Waals pour les espèces 1 et 2). Cette constante peut être évaluée à partir des propriétés optiques.

Une formulation d’équation pour l’évaluation de \( B_{12} \) et des forces d’attraction est donnée par Slater et Kirkwood :

\[ U = -0,6 \beta Z \dfrac{\nu_0^2}{r} \] (31b)

où \( Z \) est le nombre d’électrons périphériques.

1.6.1 — Effet de l’attraction moléculaire

La théorie de London sur l’attraction moléculaire présente certaines restrictions. Elle n’est valable ni pour des variations extrêmement courtes, lorsque les fonctions d’ondes d’atomes se recouvrent, ni pour de grandes séparations (au-delà de quelques angströms) quand la retardation électromagnétique est prise en considération.

Casimir et Polder (7) ont modifié l’équation de London (31) pour tenir compte de l’effet de retardation.

\[ U_{12} = \dfrac{B_{12}}{r^7} f(p) \]

\( f(p) \) est une fonction de \( p \), une séparation sans dimension donnée par : \( p = \dfrac{2 \pi r}{\lambda} \) où \( \lambda \) est la longueur d’onde de vibration donnée, par exemple, \( \lambda = \dfrac{c}{\nu} \) où \( c \) est la vitesse de la lumière.

En règle générale, si \( r \) est inférieur à un micron ou plus, la valeur de \( f(p) \) et, par conséquent, de \( U_{12} \), la force d’attraction devient négligeable.

1.6.2 — Forces de London-Van der Waals

London étend le concept d’attraction entre molécules isolées pour l’appliquer à l’agrégat de molécules, c’est-à-dire aux particules microscopiques. Ce pourrait être fait en intégrant l’influence des molécules sur d’autres.

L’équation (32) ramenée à l’effet de retardation et, en intégrant, Hamaker (17) a calculé l’attraction entre deux particules sphériques solides de diamètres \( d_1 \) et \( d_2 \), \( x \) étant la distance entre elles :

\[ F = \dfrac{A}{12x} \left( \dfrac{d_1 d_2}{d_1 + d_2} \right) \text{ dynes} \] (33)

(\( A \) est la constante de Hamaker).

\[ A = \dfrac{B_{12}}{r^6} \]

(\( q_1 \) et \( q_2 \) représentent le nombre de molécules par cm\(^3\) pour les deux espèces).

Dans l’équation (34), la dimension \( x \) mérite une observation particulière.

Si, pour deux corps de géométrie régulière, la distance maximum entre les surfaces peut aisément être déterminée, par contre, pour le cas de deux corps irréguliers comme les particules colloïdales, les poussières ou poudre, la distance effective ne peut être estimée avec certitude qu’après étude de la structure par micrographie électronique.

1.6.3 — Les forces moléculaires entre les particules dans l’eau

Les formulations précédentes pour les forces moléculaires entre particules sont valables pour deux corps isolés dans l’espace ou dans le vide. Dans le cas de corps immergés dans un fluide ou autre médium, Hamaker montrait que :

\[ A = A_{12} - A_{10} - A_{20} \]

où \( A \) représente la constante de Hamaker pour l’interaction effective totale entre deux corps 1 et 2. \( A_{12} \) est la constante d’interaction entre 1 et 2 dans le vide ; \( A_{10} \) et \( A_{20} \) représentent respectivement les constantes d’interaction entre 1 et le fluide et entre 2 et le fluide.

Les forces d’attraction entre deux corps immergés dans un fluide peuvent être évaluées si A\(_{ij}\), A\(_{ij}\)… sont déterminées d’après les équations (27 et 31 b), connaissant certaines propriétés optiques et moléculaires.

Les auteurs russes comprenant Dzyaloshinskii (11) ont tenté de mettre en corrélation l’attraction moléculaire entre deux corps de géométrie connue et dont les propriétés des matières sont purement macroscopiques. Pour l’attraction entre plaques parallèles à une distance \(d\) l’une de l’autre, Dzyaloshinskii donne :

\[ P = \frac{h}{16 \pi^{2} d^{3}} \left( \frac{(\varepsilon_{1} - \varepsilon_{2})(\varepsilon_{1} - \varepsilon_{3})}{(\varepsilon_{1} + \varepsilon_{2})(\varepsilon_{1} + \varepsilon_{3})} \right) \]

\(P\) est la force d’attraction par unité de surface, \(\varepsilon_{1}\), \(\varepsilon_{2}\) et \(\varepsilon_{3}\) sont respectivement les constantes diélectriques pour la plaque 1, le fluide et la plaque 2.

1.6.4 — Évaluation de la constante de Hamaker dans l’attraction moléculaire

De ce qui précède, une suggestion importante de Grégory fait qu’en calculant les constantes de Hamaker d’interaction pour des systèmes pratiques, seuls les effets de la dispersion sont pris en considération quant au choix des fréquences et autres propriétés.

Sur la base de l’analyse de l’ensemble des formulations existantes et du support expérimental indirect, les valeurs suivantes des constantes de Hamaker sont obtenues pour des systèmes pratiques :

Systèmes	A	A_{d}
Quartz — p.c.v. dans l’eau	5{,}5 × 10^{-14}	5{,}53 × 10^{-19}
Anthracite — p.c.v. dans l’eau	1{,}4 × 10^{-13}	5{,}70 × 10^{-19}
Quartz — Quartz dans l’eau	3{,}4 × 10^{-13}	5{,}70 × 10^{-19}

1.6.5 — Forces moléculaires dans les suspensions colloïdales

Les forces moléculaires sont responsables de la remarquable agglutination des particules et de leur adhérence à la surface du collecteur, hormis la rétention, la coagulation des colloïdes et même des aérosols.

Comme montré dans la figure 3, seule la répulsion diminue suivant l’énergie cinétique, ce qui peut activer la coagulation.

L’accroissement de la vitesse de coagulation dû à l’attraction des forces moléculaires est donné par :

\[ \Upsilon = \frac{1}{2} \left\{ \int_{0}^{\infty} x \, e^{\frac{(0)}{K(x)}} \, dx \right\} \]

(38)

où \(\Upsilon\) est le paramètre de coagulation et \(x\) la distance sans dimension \(d/r\), \(r\) est le rayon des particules (26).

Ainsi la coagulation des colloïdes monodispersés devient :

\[ K = \gamma \, \frac{4 k T}{3 r} \, S \left( 1 + e^{-4} \right) \]

(38 b)

où \(C\) est la constante de glissement de Cunningham.

Tikhomirov et coll. ont montré que pour un aérosol polydispersé :

\[ K = \gamma \times \left[ \frac{4}{k T} \int (a + b) \, dx \right] \]

où \((-)\) et \((=)\) sont des valeurs moyennes.

Cette formulation permet de calculer l’accroissement de la coagulation dû aux forces de Van der Waals. Puisque \(A/kT\) est de l’ordre de quelques unités, la contribution trouvée au total est de quelques pourcents.

D’après l’équation (34), avec \(A = 10^{-13}\), la force entre deux sphères de 0,5 micron de diamètre est de l’ordre de \(8 \times 10^{-5}\) dynes à une distance de 5 Å ; d’autre part, même si les particules transportent une charge électronique, la force électrostatique sera considérablement plus grande.

1.6.6 — Les forces moléculaires en filtration

1.6.6.1 — Approche de Marchele

Marchele fonde ses calculs sur l’équation non retardée de Hamaker suivante :

\[ A \approx \frac{38}{43} \]

\[ U = \frac{A}{4 \pi} \left( \cdots \right) \]

38, 43

où λ est la longueur d’onde de vibration comme définie précédemment, A d est un produit caractéristique du système (le fluide et les deux matières), a₁ rend compte de la dimension de la particule et de la séparation de la surface plane. A d est souvent une simple constante d’attraction entre une sphère de rayon a₁ à partir d’une plaque plate à une distance d de la surface de la particule. La surface du collecteur peut être sensiblement égale à la plaque plate.

En négligeant l’effet de retardation pour suivre l’approche de Marckrle,

          A d₁
P = ---------------
        12 r²

d₁ est le diamètre de la particule, r est la distance entre la surface plane et le collecteur.

Marckrle a mis en équation la force d’attraction moléculaire et la force hydrodynamique de la particule pour la condition d’équilibre.

          A d₁                 3 π ρ a₀ (V – v) = 3 π ρ a₀ V_R
--------------  =  Ma = Constante
        12 r²

V_R et V_p représentent successivement la vitesse instantanée du fluide, celle de la particule et les vitesses relatives données précédemment.

Dans les conditions normales d’isotherme avec un état de fluide stationnaire Ma = f(N_g) où N_g est le nombre de Reynolds.

Pour évaluer l’influence sur les éliminations, Marckrle définit Δ r comme étant l’épaisseur d’un film autour de chaque grain qui peut être dénommée « espace d’adhérence » et une particule entrant sera éliminée à 100 %.

Le mouvement de la particule est supposé, à l’intérieur de l’espace d’adhérence, comme identique à celui qui a lieu dans un bassin de sédimentation avec la force de gravité remplacée par la force de Van der Waals.

La proportion de particules éliminées sera proportionnellement égale au volume de l’espace d’adhérence.

Le volume de cet espace est égal à :

S (Δ r) = d₁ Δ r

S est la surface spécifique du lit filtrant.

La quantité éliminée dans un filtre d’épaisseur élémentaire δ₁ :

6 (1 – f) Δ r δ₁ C
-------------------
       d₁

À partir des considérations de continuité, la quantité éliminée est égale à f · δ C · δ₁, la mise en équations des deux donne :

      (1 – f)
f · a₁

(a₁ est analogue dans notre terminologie à λ).

Cette formulation est applicable à tout système de filtration.

En déduction des travaux de Marckrle, nous relevons les insuffisances suivantes :

1. Du fait que les effets d’orientation et d’induction figurent en plus de la dispersion, Marckrle obtenait et utilisait une valeur plus élevée de la constante A de Hamaker.
2. Marckrle utilisait l’équation de non-retard de Hamaker pour l’attraction entre une particule et une surface plane et négligeait la retardation électromagnétique.
3. D’après les résultats de Hamaker, les valeurs de Δ r obtenues se situent entre 10⁻⁸ cm et 2,5 × 10⁻⁷ cm, c’est-à-dire de 10⁻³ Å, d’où l’application douteuse de cette théorie.

1.6.6.2 — Approche de Gregory :

Gregory avait fait un travail d’évaluation théorique approfondi des forces d’attraction moléculaires pour un certain nombre de systèmes de filtration en utilisant l’équation (39). Cependant, d’après ses calculs il notait une certaine répulsion due à la prépondérance de la répulsion électrocinétique sur l’attraction moléculaire. Ses essais ont montré des éliminations considérables.

En conséquence, l’attraction moléculaire joue un rôle significatif peu probable.

1.7 — Mécanismes électrochimiques

Dans le domaine de la filtration de l’eau, le mécanisme électrochimique a retenu l’attention seulement très récemment et il a été considéré comme étant qualitatif et de nature empirique. Stanley a étudié l’influence du pH et de divers ions sur la filtration de flocs de fer.

Cleasby et Baumann conclurent de leurs observations que l’efficacité d’élimination pour un floc de fer est indépendante de la dimension des particules et que les forces électrochimiques sont principalement responsables de l’élimination. Aucune étude jusqu’à présent ne met en corrélation quantitativement l’efficacité d’élimination avec les phénomènes chimiques, bien que sa signification et la contribution de ces phénomènes soient montrées.

Dans la partie expérimentale de cette étude, nous avons développé des techniques d’évaluation des potentiels des médias filtrants et des suspensions suivant celles de Baumann et coll. (4). On a observé la variation de l’efficacité de filtrage avec celle du potentiel.

La plupart des phénomènes chimiques ne peuvent être expliqués que sur la base des différents degrés de dissociation des divers groupes ioniques et la liaison hydrogène.

Il est connu que les particules colloïdales renferment des micro-organismes, des particules argileuses et autres matières en suspension dans l'eau véhiculant de faibles charges électriques dues à la dissociation sélective de certains groupements (c’est-à-dire (COO–) à la surface des micro-organismes).

Des charges identiques mais faibles sont émises par le sable, médium filtrant habituel, lorsqu’il est mis en suspension dans l'eau. Si l’on considère ces charges similaires aux charges électrostatiques induites de la filtration d’aérosols, une approche analogue que ci-dessus pour la filtration électrostatique serait d’un certain intérêt.

1.7.1. — Élimination par phénomène électrostatique

Les effets électrostatiques se divisent en cinq catégories :

1) L’attraction coulombienne ou force répulsive entre particules et collecteur (F ∝ 1/r²). 2) L'effet de la charge d’espace : la répulsion des particules environnantes sur la particule déposée (Force ∝ 1/r³). 3) L'effet d’induction lorsque seulement le collecteur est chargé et une image est induite sur la particule (Force ∝ 1/r⁴). 4) L’effet d’induction entre un aérosol chargé et le collecteur à un voltage constant (Force ∝ 1/r²). 5) L’effet d’induction uniquement lorsque l’aérosol est chargé et une image est induite sur le collecteur (Force ∝ 1/r).

Dans les conditions données de charge et/ou de potentiels des particules en suspension et de médium, et les propriétés diélectriques du fluide, des particules en suspension et de grains de médium, la quasi-totalité des effets paraissent significatifs.

En appliquant les lois usuelles de l’électrostatique, les forces dues à chaque effet peuvent être déterminées par l’équation globale de Kraemer et Johnstone (22).

e 22 2,  
ED St Ste  
(+2) x6vE,r? an e,r?  

243; 2  
ap Ray be 2  

4gr? — 2aer® ye, (4r²02)?

F est la force électrostatique totale d’une particule d’aérosol, d₁ est son diamètre, Q₁ est sa charge, r est la distance de la particule d’une sphère réceptrice de diamètre d₂, et de charge Q₂, ε est la constante diélectrique, la permittivité du vide. Tandis que Nₐ est la concentration de la particule d’aérosol en nombre de particules par millilitre.

Chaque terme à partir de la droite représente l’ordre de contribution de chacun des cinq effets énumérés ci-dessus.

1.7.2 — Phénomènes de la double couche

La formulation ci-dessus des forces électrostatiques suppose, cependant, que les charges soient permanentes et non éliminées par « écoulement » lorsque la conductance du fluide est moyennement faible, tels sont les cas de l’air, de l’huile et autres fluides à filtrer non conducteurs.

L’existence prolongée de particules chargées dans l’eau est expliquée par les phénomènes de la double couche.

Une représentation schématique d’une double couche est donnée dans la figure (4).

La surface de la double couche chargée est entièrement protégée par une couche extérieure de charge et de signes opposés, la charge réelle étant essentiellement de zéro. Un champ électrochimique dû à la distribution spéciale des charges est engendré dans le voisinage immédiat de la particule. Cependant, ce potentiel électrochimique décroît rapidement et dépend de l’épaisseur de la double couche et est de zéro au-delà des faibles distances de la surface. L’épaisseur de la double couche est donnée par (1) :

Az fet = [Hoe , I (43)

s not [ave Isc, 22

D est la constante diélectrique du fluide, K est la constante de Boltzmann, T est la température absolue, e est la charge électronique, η est le nombre d’ions chargés, N est le nombre d’Avogadro, Cᵢ est la concentration moléculaire d’ions d’espèce i, et Zᵢ est le nombre de charges électroniques d’ions d’espèce i.

Pour les solutions uni-univalentes :

_ 3,06  
A x 10⁷⁸ cm (44 a)

and in general  

A = A _ 4,32 x 10⁸  
x (44 b)  
VOzᵢ

Ainsi, pour 10⁻⁴ M.NaCl ou autre solution de sel univalente l’épaisseur de la double couche sera de

6 x 10⁶ cm ou 300 Å. L’approche suivante de Biermann (6) rapporte l’expression ci-dessous pour calculer

La force due à une double couche plane : (43 c)

Force = kT ∑ nγ₀ [exp(⁺ 2 + er) − 1] (ak)
            j     j=ax ax   x

ψ est le potentiel à une distance x de la double couche, D est la constante diélectrique, K est la constante de Boltzmann, T est la température absolue. Par intégration et manipulation de l’équation ci-dessus on a obtenu pour l’énergie potentielle d’interaction entre une double cou­ che plate (telle que celle d’un medium granulaire, qui est plus grande comparée aux particules en suspension, peut être prise comme plate) et une double couche sphérique (comme celle des particules en suspension) :

                     x    d                            (45)
V = 64 n kT γ₀ γ₂ e⁻
                     ₊ e⁻   ₊ e⁻
            1+e⁻       1+e⁻

V est l’énergie potentielle d’interaction, d est la séparation entre les doubles couches, n est le nombre d’ions dans le fluide, K la constante de Boltzmann et T la température absolue.

                         x e e e vonep⁻ ewer e
V₀ exp(ze₀ / 2kT + 1)

Z est le nombre de charges sur chaque ion, ???? est le potentiel zéta à la surface et 1, 2 sont relatifs aux doubles couches.

Étant donné que la force est la dérivée de l’énergie potentielle par rapport à la distance, la force d’interaction :

P = 64 n kT

et

(48)

En utilisant les équations ci-dessus et les valeurs mesu­ rées des paramètres <, et ????, la variation de l’énergie d’interaction pour divers systèmes expérimentaux a pu être calculée par Gregory et déterminée comme une fonction de la séparation d.

Du fait que x est très grand, de l’ordre de 10⁶, l’énergie potentielle chute rapidement avec la distance et est natu­ rellement très faible pour des distances de quelques angstroms.

Dans l’eau de faible concentration ionique, x est par conséquent petit, l’interaction de la double couche peut aller jusqu’à quelques microns.

On peut conclure que l’énergie d’interaction de la dou­ ble couche et les forces ne peuvent se développer au- delà et ne sont pas significatives dans l’élimination de particules dans le filtre.

En résumé de cet aperçu sur les mécanismes, il apparaît que jusqu’à présent, les chercheurs n’ont pu présenter une théorie unifiée sur les mécanismes dominants, ni fournir une base d’étude rationnelle et d’exploitation des systèmes de filtration.

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