L'importance de la littérature sur les lits granulaires utilisés en filtration s'explique à la fois par l'ancienneté de cette technique et par le rôle fondamental qu'elle joue dans de nombreux procédés et notamment dans le traitement de l'eau.
Si l'opération est parfaitement maîtrisée sur le plan technologique plusieurs problèmes n'ont pas reçu de réponse pleinement satisfaisante. La compréhension de la nature même des phénomènes qui aboutissent à la rétention des particules dans le lit filtrant est loin d'être complète et ceci se traduit par la difficulté de prévoir le fonctionnement par exemple lorsque les conditions à l'entrée sont variables.
LE MODELE DE J.-P. HERZIG (1)
Une des approches les plus rationnelles pour décrire la filtration dans la masse est sans doute celle qui a été proposée par J.-P. HERZIG (1) et qui se résume dans le système d'équations suivant (cf. figure 1).
∂c/∂t + Uₘ ∂c/∂z = 0 ∂σ/∂t = Kγ = K₀ F (σ/γ) ∂K/∂z = −Kσ/Uₘ
K peut être défini comme la probabilité de rétention par unité d'épaisseur.
qui repose sur des bilans matière et une cinétique de colmatage du premier ordre caractérisée par une fonction K dépendant uniquement de la rétention.
Une conséquence immédiate est la forme analogue des équations qui définissent les profils de concentration et de rétention au sein du lit filtrant.
∂(c/γ)/∂y = −K/Uₘ ∂(σ/γ)/∂t = −Kσ/Uₘ
où l'indice i caractérise les conditions dans la couche d'entrée.
Avec ce formalisme l'analogie avec l'adsorption apparaît : les profils de rétention à tout instant sont représentés par des courbes parallèles.
Au cours de la filtration on assiste donc au déplacement de l'entrée vers la sortie du filtre d'un front de colmatage analogue au front d'adsorption.
* Actuellement Professeur à l'Université de Technologie de BAGDAD.
** Université des Sciences et Techniques du Languedoc.
TABLEAU 1
Formes de la fonction de rétention F(σ).
| λ = λ₀ exp(−aσ) | INASAKI (2) |
| λ = λ₀ exp(−aσ²) | SHEKTMAN (3) |
| λ = λ₀ b₁ Φ₁ (1 − σ / σ₀)² + b₂ Φ₂ | IVES (4) |
| λ₀ = a (1 + bσ) υ² z² (1 − λ / 2) | MACKRLE (5) |
| a = e λ − a₀ σ (1 − λ) σ₀ | MAROUDAS (6) |
| cité par HERZIG (1) | |
L’utilisation de ce modèle repose sur la connaissance de K ou de λ, donc de K₀ ou λ₀ et de F(σ).
λ₀ a été déterminé pour de nombreux systèmes et J.-P. HERZIG en particulier a développé une méthode expérimentale permettant sa mesure précise.
En ce qui concerne la forme de la fonction F(σ), en tenant compte de l’ensemble des grandeurs qui peuvent intervenir (surface externe des grains, vitesse d’écoulement), on a proposé une expression générale :
F(σ) = (1 + bσ) Φ₁ (1 − σ / σ₀) Φ₂ (1 − σ / σₘ) Φₘ
De nombreux auteurs ont proposé des formes simplifiées de cette équation, conduisant en fait à des résultats très différents (cf. tableau 1 et figure 2).
Notre objectif était donc une tentative de caractérisation du couple milieu poreux — suspension par la détermination expérimentale de la fonction F(σ) : il s’agissait en l’occurrence de la suspension constituée par des eaux usées après épuration biologique.
Résultats expérimentaux.
Les expériences réalisées sur une seule colonne (figure 3) selon un protocole expérimental décrit en détail par ailleurs (6) conduisent à la détermination simultanée des profils de concentration dans la suspension en écoulement et des profils de rétention ainsi que de λ.
Quelques-uns des résultats obtenus sont représentés sur les figures 4, 5, 6 et mettent en évidence l’impossibilité de caractériser le système par une forme unique de la fonction F(σ) et même de définir de façon simple une telle fonction.
Bien que cela ait été envisagé, il est peu probable que la méthode de détermination indirecte de σ puisse être mise en cause.
TABLEAU 2
Quelques valeurs expérimentales de m.
| Auteur | Particules | ΔP₀ (cm d’eau) | Grains (g/l) | m |
|---|---|---|---|---|
| MACRIE | Hydroxyde de fer (d < 30 μ) | 0,140 | 1339 | 57,8 |
| IVES | Algues (d ≈ 5 μ) | 0,140 | 540 | 61,5 |
| ROBINSON | Anthracite (2 μ < d < 2 ω) | 0,140 | 770 | 41,2 |
La cohérence des résultats obtenus est en effet prouvée par les bilans de matière d'une part, par la relation linéaire obtenue entre la perte de charge et la rétention d’autre part, en accord avec de nombreux résultats de la littérature.
Ainsi l'ensemble de nos résultats expérimentaux avec des matériaux de nature différente et de dimension variable entre 2 et 6 mm, des suspensions de concentration variable entre 30 et 130 mg/l, des vitesses de passage comprises entre 7 et 15 m/h, est représenté par une courbe unique :
ΔP / ΔP₀ = 1 + mσ
avec m = 3610 et un coefficient de corrélation de 0,84 (figure 7).
Cette valeur du coefficient m, comparée avec celles figurant dans le tableau 2 établi par HERZIG (1) montre qu'il s’agit d'une caractéristique très sensible de la suspension (la valeur élevée de m est très certainement liée à la nature floculée des particules en suspension).
Une raison essentielle peut être invoquée pour expliquer l'impossibilité de déterminer une fonction F(σ) : c'est le fait que nos expériences aient été réalisées avec des suspensions réelles (comportant donc une distribution granulométrique) et non avec une suspension synthétique de particules monodimensionnelles comme l’ont fait la plupart des auteurs.
Or la granulométrie de la suspension varie entre l’entrée et la sortie du lit. En fait deux phénomènes interviennent.
– La probabilité de rétention est fonction de la dimension (dans le domaine de dimension qui nous intéresse il s’agit d’une fonction croissante) : ceci explique en
– particulier l’évolution observée de la courbe granulométrique entre l’entrée et la sortie du lit (figure 8) ;
– mais par ailleurs, dans la mesure où les conditions physicochimiques sont réunies, un phénomène de floculation peut se produire au sein du lit, conduisant à une croissance de la taille des particules et donc à une variation de la probabilité de rétention.
Pour mettre en évidence ces phénomènes il est nécessaire de faire appel à un modèle « microscopique » de la rétention : c'est le cas du modèle de O’MELIA et ALI (7, 8).
LE MODÈLE MATHÉMATIQUE DE O’MELIA ET DE ALI (7, 8)
Les hypothèses utilisées en développant ce modèle
Le modèle d’O’MELIA est basé sur quelques observations expérimentales.
(i) Il y a une taille critique de particules se situant autour de 1 μm. Les courbes de variation d’efficacité de rétention en fonction de la dimension présentent un minimum pour cette valeur.
(ii) Les particules de cette taille ne sont pas retenues dans le filtre propre, mais le sont au cours de la filtration.
(iii) Dans le cas de la filtration d’un aérosol par un lit fibreux on a pu observer la formation sur les fibres de chaînes de particules.
(iv) Certaines particules retenues agissent comme des collecteurs supplémentaires pour les autres particules.
En développant le modèle, les hypothèses suivantes sont faites :
(i) Les particules sont déposées uniformément sur la surface des grains.
(ii) Dès qu’une particule déjà retenue capte une nouvelle particule, elle cesse d’agir comme collecteur et c’est la nouvelle particule qui devient collecteur.
(iii) Les lignes de courant ne sont pas modifiées par les particules retenues.
(iv) La porosité ne varie pas avec le temps.
Le modèle
À partir des expériences de filtration d’aérosols et de suspensions, on peut définir l’efficacité d’un collecteur simple comme suit.
Flux de particules arrivant au contact du collecteur Φe Flux de particules transportées
Si on suppose qu’après le temps t il y a N particules retenues qui agissent comme des collecteurs supplémentaires, on peut écrire l’efficacité d’un collecteur simple comme suit :
γc = γ1 + N γp
Si on tient compte d’une probabilité de rétention, l’équation précédente devient :
γc = γ1 + N γp × (dg / dp)² (1)
où
αg = (nombre de particules retenues par un grain) / (nombre de particules arrivées au contact du grain)
αp = (nombre de particules retenues par une particule « collecteur ») / (nombre de particules arrivées au contact d’une particule « collecteur »)
La quantité de particules retenues par un grain est égale à
γ1 αg Um πt (dg)² / 4
Le nombre N des particules « collecteur » croît avec le temps selon l’équation :
∂N/∂t = γ1 αg Cp Um πt (dg)² / 4 (2)
Dans une couche de filtre d’épaisseur ΔZ, le nombre de grains est donné par :
Q (1 − e₀) · ΔZ π d³ / 6
où Q est l’aire de la section du filtre perpendiculaire à la direction de l’écoulement.
Le flux de particules retenues dans cette couche est donc donné par :
3/2 γ₁ Q uₘ γ₁ (1 − e₀) ΔZ dᶜ N·T⁻¹
Ce qui permet d’établir un bilan de matière :
Flux accumulé = Flux d’entrée − Flux de sortie − Flux de particules retenues
Q ΔZ ∂η/∂t − Ω uₘ γ₁ (γ₁ + γ₂ ΔZ) − 2 ∂η/∂t Q uₘ γ₁ (1 − e₀) dᶜ
Donc :
2 ∂η/∂t Q uₘ γ₁ 3 (1 − e₀) 2t + uₘ z dᶜ ∂η/∂t γ₁ γ₁ = 0 (3)
La résolution du système d’équations 1, 2 et 3 donne l’expression de l’efficacité du filtre en fonction du temps et de la profondeur.
Pour simplifier la solution de ce système, O’Melia et Ali (8) ont considéré γ₁ comme une fonction escalier du temps.
Nous avons utilisé pour notre part (9) la méthode des différences finies pour résoudre ce système d’équations et mis en évidence que le résultat dépend sensiblement de la méthode de résolution utilisée.
Nous avons par ailleurs complété le modèle de façon à prendre en compte :
— l’influence de la distribution granulométrique sur le cas simplifié d’un mélange binaire de particules ;
— l’influence de l’évolution de cette distribution en cours de filtration par le phénomène de floculation.
RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX
Les expériences réalisées sur l’appareillage schématisé (figure 9) et décrit en détail par ailleurs (9) ont été effectuées sur des suspensions synthétiques de pollen en s’attachant à mettre en évidence le phénomène de floculation et l’influence de la granulométrie.
Influence de la granulométrie
Les figures 10 et 11 font apparaître :
• d’une part l’influence très grande de la granulométrie sur l’efficacité (dans un domaine de dimension relativement restreint 12 à 40 µ) : ceci est une confirmation d’études antérieures (Yao, Habibian, Ali — 10, 11, 7).
• d’autre part le rôle que jouent les grosses particules retenues dans le filtre sur l'efficacité de rétention des petites particules.
Il s’agit là d’un résultat original qui peut être interprété (certes avec une marge d’erreur importante) grâce à l'adaptation du modèle de O’MELIA et ALI que nous avons proposée (8).
Les variations peuvent apparaître négligeables lorsqu’elles concernent des efficacités déjà importantes mais il en va tout autrement si l'on prend en considération la qualité de l'eau filtrée.
Le phénomène de floculation
Tout système dans lequel existe un gradient de vitesse est favorable à la mise en contact des particules présentes dans le milieu et donc à la formation de flocs si les conditions sont réunies pour que l'attraction interparticulaire s’exerce (potentiel électrocinétique, affinité chimique provoquée par la présence de macromolécules, etc.).
C’est le cas lors de l’écoulement dans un milieu granulaire qui joue en fait le rôle de floculateur statique.
Si donc il est possible de caractériser une cinétique de floculation, l'équation obtenue pourra être introduite dans le modèle de la filtration : il sera ainsi tenu compte de l'influence de la floculation des particules au sein du filtre sur l'efficacité de filtration.
Des essais préalables (suspension de particules de pollen en présence d'un réactif de floculation WAC 2) dans un bécher soumis à une agitation mécanique où la valeur moyenne du gradient de vitesse est connue (12) nous ont permis effectivement de déterminer une cinétique de floculation sous une forme compatible avec les théories de CAMP (13) et BOADWAY (14).
Log10 (Du) = 4,7 + Log10 (W/G) Log10 (Du/Df − 1) = Log10 (Du/dp − 1) ×1 td
L'introduction de ces équations lors de la résolution numérique du modèle de la filtration conduit à la conclusion que le phénomène de floculation ne peut être négligé.
Ainsi dans les conditions suivantes :
Z = 5 cm dc = 1—1,5 mm floculant : WAC 2 un = 5 m/h à la dose de 15 mg/l dp = 26 μ (Arizonica) temps de filtration = 2 h
Le modèle aboutit à la formation de flocs constitués de 3 particules environ.
Une observation microscopique des particules sortant du lit (après la période de perçage) conduit au résultat résumé dans le tableau 3.
TABLEAU 3
La dimension du floc (Z = 5 cm ; dƒ = 5 cm ; dp = 26 μ ; un = 5 m/h ; temps de filtration = 2 h. Dose du WAC 2 = 15 mg/l).
| Diamètre de la sphère ayant même surface que les particules floculées (μ) | Diamètre de floc (μ) | N° de floc dans chaque classe | Nb des particules de floc dans un floc |
|---|---|---|---|
| 8 | 27,6 | 26 | — |
| 3 | 38,8 | 103,1 | — |
| 5 | 44,3 | 122,1 | — |
| 7 | 49,5 | 144,5 | — |
| 8 | 52,0 | 154,5 | — |
| 11 | 51,8 | 181,0 | — |
| 15 | 39,3 | 189,2 | — |
| 20 | 193,3 | 240,0 | — |
Le phénomène de floculation est donc une réalité et peut être pris en compte de façon acceptable par le modèle utilisé.
CONSÉQUENCES PRATIQUES
Une des limitations importantes de la filtration dans la masse sous sa forme traditionnelle est son caractère discontinu lié au colmatage progressif du lit et à l’augmentation continue de la perte de charge qui en résulte : à débit constant ou à la diminution du débit à charge constante.
D'autres procédés de percolation tels l'adsorption ou l'échange d'ions ont ce caractère discontinu.
En fait, dans ces conditions, seule une faible partie du réacteur est en activité, celle qui correspond au front de colmatage ou d'adsorption : la partie amont est saturée, la partie aval ne joue en principe aucun rôle.
Si les problèmes technologiques pouvaient être résolus, il est certain qu'un lit mobile serait une solution plus rationnelle : cette idée a fait l'objet de plusieurs tentatives et d'un développement récent (15).
Le dimensionnement optimal d'un tel procédé devrait toutefois s'appuyer sur la définition précise du front de filtration et de sa vitesse de déplacement : ces informations peuvent être obtenues à partir du modèle présenté.
Des résultats obtenus à la plate-forme d'essais de Colombes (16) avec le filtre TENTEN (figure 12) en traitement tertiaire d'eaux résiduaires se sont traduits par des résultats décevants (tableau 4) : les conditions des essais (très faible concentration à l'entrée) ne permettent pas toutefois de conclure de façon définitive.
Les essais entrepris à l'échelle pilote sur un filtre continu de notre conception ont donné par contre des résultats encourageants (tableau 5).
Les essais se poursuivent à la fois pour cerner les obstacles technologiques et pour confirmer la possibilité d'utilisation du modèle théorique.
TABLEAU 4
| Débit filtration | NES entrée | |
|---|---|---|
| 18 à 30 mg/l | 30,8 à 45 mg/l | 45 à 72 mg/l |
| 1,5 à 4 m³/h | ||
| n = 5 | 8,9 % | |
| n = 6 | 32,9 % | |
| n = 7 | 19,2 % | |
| 4 à 6 m³/h | ||
| n = 4 | 30,9 % | |
| n = 2 | 7 % | |
| n = 4 | 12,9 % |
TABLEAU 5
Résultats expérimentaux.
| TURBIDITÉ EN F.T.U. | |||||
| ENTRÉE | SORTIE | ||||
| VITESSE DE FILTRATION (m/h) | |||||
| DÉBIT (l/h) | |||||
| ENTRÉE | SORTIE | ||||
| LAVAGE Q (l/h) | |||||
| EFFICACITÉ % E | |||||
| 5 | 10 | 69,0 | 66,0 | 60,3 | |
| 0 | 40 | 390 | 0 | 43 | 3,3 |
| 5 | 600 | 600 | 0 | 40 | 55,8 |
1) Type d'effluent : eau usée décantée à la sortie du clarificateur.
CONCLUSIONS
La granulométrie des suspensions et sa variation liée au phénomène même de filtration et à la possibilité de floculation au sein du filtre sont des facteurs essentiels pour une caractérisation complète de la filtration dans la masse.
Le modèle présenté permet d'en tenir compte et de mieux définir ainsi le front de colmatage : ceci devrait s'avérer particulièrement utile pour un dimensionnement optimal des filtres à sable à lit mobile.
Remerciements
Les auteurs tiennent à remercier Monsieur Pierre Cour du Laboratoire de Palynologie de l'U.S.T.L. qui a fourni les échantillons de pollen nécessaires à cette étude.
BIBLIOGRAPHIE
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(13) G. M. Camp — « Floculation and floculation basins ». Transactions ASCE, vol. 120, pp. 1-16 (1955).
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(15) J. T. Allanson, E. P. Austin — « Development of a continuous inclined sand bed filter ». Filtration and Separation, mars/avril, pp. 165-169 (1976).
(16) Traitement tertiaire : performances du filtre à sable « Tenten » à lavage continu. Rapport Agence Financière de Bassin Seine Normandie, septembre 1979.
