L'utilisation de modèles mathématiques pour la conception et l'exploitation des filtres est toujours peu développée. En 1973, Iwasaki (7) a proposé un modèle simple sur la filtration, qui décrit l'élimination des particules dans un filtre comme une fonction exponentielle de la profondeur, L, de ce dernier :
\[ \frac{dC}{dL} = -\lambda C \, (1) \]
où C est la concentration des particules exprimée en masse par volume. Le coefficient de filtration, λ, qui exprime la vitesse d’élimination en fonction de L, est supposé changer selon le temps de filtration. Plusieurs modèles ont été proposés pour exprimer cette évolution de λ dans le temps. Les modèles existants peuvent être divisés en deux groupes.
Un premier groupe de modèles considère le développement d’un « dépôt spécifique » (5, 6, 8). La formulation de ces modèles s’élabore à partir d’un bilan de masse dans le filtre et décrit le développement du dépôt dans le temps. Pour un filtre donné, ce genre de modèles peut s’avérer très performant et être utilisé pour décrire l’amélioration, la crevaison et le développement des pertes de charge d'un filtre. Plusieurs chercheurs ont réussi à décrire la filtration à l’échelle d’un pilote avec de tels modèles (2, 3, 11) ; cependant, à cause des paramètres empiriques qu’ils incluent, ces derniers ne sont plus valides dès qu’un paramètre du système (la vitesse de filtration ou la taille de la masse filtrante, par exemple) ou un paramètre physico-chimique (la répartition des particules en suspension, leur degré de déstabilisation, la température, etc.) change.
Un deuxième groupe de modèles essaie de décrire les mécanismes d’élimination à partir des propriétés physico-chimiques de la suspension de particules et du filtre (9, 11, 12, 13). Dans le domaine du traitement des eaux, ce groupe n’a pas encore trouvé d’application à l’échelle industrielle. Ceci est largement dû au fait que les mesures exigées, et les conditions dans lesquelles les modèles sont valables, sont rarement réunies. Malgré ces limitations, ces modèles, à cause de leur caractère général, sont très prometteurs pour le contrôle de procédé et la conception des filtres.
Dans cet article, la calibration et la validation d’un modèle de ce deuxième groupe sont présentées ; un modèle formulé par O’Melia et Ali (9) est appliqué à un filtre pilote qui traite de l’eau de Seine en amont de Paris. Les hypothèses nécessaires pour la mise en œuvre du modèle sont examinées et ses limitations sont évaluées ; ensuite, la formulation d'un modèle physico-chimique plus réaliste est proposée. Quelques résultats de cette modélisation sont présentés dans le cas de la filtration d'une suspension hétérogène.
Description du modèle O’Melia — Ali
Le modèle formulé par O’Melia et Ali (9) décrit l’élimination des particules dans une suspension monodispersée en fonction de la profondeur du filtre et du temps. On considère trois mécanismes pour l’élimination des particules : l’interception, la gravité et le mouvement brownien. Yao (13) a présenté des solutions analytiques sur l’efficacité d’une sphère de diamètre \( d_c \) à entrer en contact avec des particules en suspension de diamètre \( d_p \). Pour le mouvement brownien, l’efficacité des contacts, \( \eta_B \), est définie par :
\[ \eta_B = 0{,}9 \left( \frac{K T}{\mu d_c V_s} \right)^{2/3} \, (2) \]
où K est la constante de Boltzmann, T est la température en kelvins, μ est la viscosité du liquide et \( V_s \) est la vitesse de filtration. Pour l’interception, l'efficacité, \( \eta_I \), est :
\[ \eta_I = \left( \frac{d_p}{d_c} \right)^2 \, (3) \]
et pour la gravité, l’efficacité, \( \eta_G \), est :
\[ \eta_G = \left( \frac{\rho_p - \rho_l}{\rho_l} \right) \frac{g d_p^2}{18 \mu V_s} \, (4) \]
où \( \rho_p \) est la densité des particules en suspension et \( \rho_l \) la densité du liquide. L’hypothèse courante est que ces trois mécanismes sont additifs ; par conséquent, si un grain de masse filtrante est idéalisé comme une sphère, l’efficacité d’un seul grain dans un lit propre peut être exprimée par :
\[ \eta = \eta_B + \eta_I + \eta_G \, (5) \]
En réalité, l’efficacité d’un grain augmente avec le temps, parce que les particules qui s’attachent à ce grain peuvent elles-mêmes éliminer d'autres particules ; l’efficacité du grain doit donc être modifiée en fonction du temps.
O’Melia et Ali ont défini l'efficacité d’un « collecteur » pour un seul grain de masse filtrante et pour N particules associées à ce grain et ainsi éliminées de la suspension. L’efficacité, \( \eta_c \), de ce collecteur est :
\[ \eta_c = \eta_0 + \alpha \eta_p N \frac{d_p}{d_c} \, (6) \]
où \( \eta_0 \) et \( \alpha \eta_p \) sont calculés à partir de l'équation (5) avec \( d_c = d_p \) pour le calcul de \( \eta_p \). Si l’on ne considère que les collisions réussissant avec le collecteur, l’efficacité d’une collision entre une particule et un grain de masse filtrante, \( \alpha \), et celle d’une collision entre une particule en suspension et une particule déjà éliminée par le collecteur, \( \alpha_p \), donnent :
\[ \eta_c = \alpha \eta_0 + \alpha_p \eta_p N \frac{d_p}{d_c} \, (7) \]
Puisque le nombre N de particules associées au collecteur augmente avec le temps, ce modèle décrit un filtre qui produit une eau dont la qualité ne peut que s’améliorer au cours du temps de filtration ; autrement dit, il ne peut pas décrire la crevaison d’un filtre. Pour y remédier, il serait possible d’ajouter un terme à l’équation (7), mais il ne pourrait être qu’empirique, donc non général.
L'utilité de ce groupe de modèles est de prédire la qualité de l'eau filtrée en fonction de la qualité de l'eau à traiter. De plus, ce modèle, décrivant le dépôt de particules sur le filtre, peut être utile pour décrire l’évolution des pertes de charge dans le cas où la plupart des particules restent retenues, même après la crevaison.
Le nombre de particules N, retenues par un collecteur par rapport au temps t, est :
dN —— = 5 nₚ Vₚ n A (8) dt 2
où R est la portion des particules éliminées par le collecteur disponible pour en éliminer de nouvelles, et n est la concentration des particules en suspension.
Si la surface et le volume de particules déposées dans le filtre sont suivis en fonction du temps, l’équation de Carman–Kozeny peut être utilisée pour calculer la perte de charge hₑ dans le filtre :
hₑ 5 fₚ Vₚ (1 – f)² Aₚ + Bʼ Aₚ —— = ————————————————————— (9) L 9 f³ Vₚ + Vₚ
où f est la porosité du filtre, Aₚ et Vₚ sont la surface et le volume de masse filtrante, Aₚ et Vₚ sont la surface et le volume des particules retenues et Bʼ la portion des particules retenues qui contribue à la perte de charge. L’expression suivante résulte d’un bilan de masse sur le filtre. Elle décrit le changement de concentration des particules en suspension nₚ en fonction du temps t et de la profondeur du filtre L :
∂n 3 (1 – f) —— + Vₚ —— nₚ = 0 (10) ∂t 2 dₚ ∂L
Dans cette équation, le coefficient de filtration λ, proposé par Iwasaki, correspond à :
3 (1 – f)
λ = —————— (11)
2 dₚ
Méthodes
Pour obtenir les données exigées dans la calibration et la validation du modèle, une étude pilote a été effectuée sur le site de l’usine de Vigneux, en amont de Paris. Le pilote traitait, à un débit de 4 m³/h, l’eau de Seine qui était coagulée dans un clarificateur/floculateur à débit ascendant. La surface du clarificateur était de 1 m² et correspondait à une vitesse de 4 m/h. Une dose de 45 à 50 mg/l d’AlCl₃ était ajoutée avec 0,15 à 0,3 mg/l de polymère non ionique. Après clarification, l’eau a été filtrée sur charbon actif en grain (CAG). Le diamètre moyen du CAG (par volume) a été déterminé comme étant de 0,85 mm, par une analyse granulométrique. La profondeur de la masse filtrante était de 0,8 m. Une moitié du débit a été filtrée sur un filtre à une vitesse de 6,8 m/h et l’autre était traitée sur des filtres qui fonctionnaient à une vitesse de 9,1 m/h. Les caractéristiques des filtres sont résumées dans le tableau I.
L’eau brute, l’eau décantée et les eaux filtrées aux deux vitesses de filtration étaient échantillonnées pendant deux cycles de filtration (deux périodes entre chaque lavage de filtre) qui ont duré environ 24 heures. Les particules, comprises entre 0,5 et 200 µm, étaient mesurées sur un compteur de particules de type HIAC 3210, qui permet la classification des particules en 32 canaux selon leurs diamètres. Toutes les dilutions des échantillons ont été faites en utilisant de l’eau Millipore, filtrée deux fois sur un filtre Millistack de porosité 0,22 µm. Cette eau de dilution contenait moins de 20 particules/ml de diamètre supérieur à 0,5 µm. La turbidité était mesurée sur un turbidimètre de type HACH 2100 A. Les pertes de charge étaient mesurées pendant le cycle de fonctionnement des filtres.
Tableau I — Caractéristiques des filtres du pilote
| PARAMÈTRES |
|---|
| Vitesse de filtration |
| – Filtre A : 0,189 cm/s |
| – Filtre B : 0,252 cm/s |
| Diamètre de masse filtrante : 850 µm |
| Profondeur de masse filtrante : 80 cm |
| Porosité du lit : 0,47 |
Résultats
Tableau II — Caractéristiques de l’eau brute et de l’eau décantée pendant la période de l’étude du pilote
| Valeurs moyennes | ||
|---|---|---|
| Paramètres | Eau brute | Eau décantée |
| Température | ||
| – Cycle 2 | 6,4 | 6,4 |
| – Cycle 1 | 5,0 | 5,0 |
| Turbidité | ||
| – Cycle 2 | 5,3 | 1,0 |
| – Cycle 1 | 4,8 | 1,8 |
| COT | ||
| – Cycle 2 | 3,5 | 3,0 |
| – Cycle 1 | 4,4 | 3,3 |
| Dosage d’AlCl₃ | ||
| – Cycle 2 | 50 mg/l | |
| – Cycle 1 | 45 mg/l | |
| Nombre de particules/ml | ||
| – Cycle 2 | 2,21 × 10⁸ | 4,27 × 10⁵ |
| – Cycle 1 | 2,27 × 10⁸ | 1,37 × 10⁶ |
| Diamètre moyen (dₙₙ) | ||
| – Cycle 2 | 4,2 µm | 2,3 µm |
| – Cycle 1 | 2,8 µm | 1,5 µm |
Les caractéristiques de l’eau brute et de l’eau décantée sont résumées dans le tableau II. Les répartitions de particules dans l’eau brute et dans l’eau décantée du deuxième cycle sont présentées sur la figure 1. On voit que la décantation diminue la concentration des particules en suspension d’un ordre de grandeur d’environ 10. Cette élimination des particules est accompagnée par une diminution de la taille moyenne de celles restantes. Comme le modèle ne considère que les particules d’un seul diamètre, il est nécessaire de choisir une expression pour la taille moyenne, qui représente à la fois l’importance du nombre et du volume des particules. Le diamètre moyen, associé au nombre de particules, d′ₙ, est calculé de la manière suivante :
Σ nᵢ dᵢ
d′ₙ = ————— (12)
Nₜ
où l’indice « i » se réfère à la classe des particules de diamètre dᵢ, nᵢ est le nombre de particules dans cette classe et Nₜ est le nombre total de particules dans toutes les classes. Le diamètre moyen associé au volume des particules, dᵥ, est calculé par :
Σ vᵢ dᵢ
dᵥ = ————— (13)
Vₜ
où vᵢ est le volume de particules de la classe « i » et Vₜ est le volume total. Une troisième possibilité, choisie pour la modélisation, est de considérer le diamètre d’une suspension monodispersée, dₙₘ, qui donne les mêmes Vₜ et Nₜ que la suspension hétérodispersée. Ce diamètre est calculé par :
6 Vₜ
dₙₘ = (———)¹ᐟ³ (14)
π Nₜ
Ce troisième diamètre tombe toujours entre les deux premiers. Il est évident que l’incertitude introduite par l’approximation du calcul d’un diamètre moyen fait que le diamètre de particule est un paramètre empirique de la calibration. Cela signifie que les autres paramètres déterminés sont plus susceptibles de changer d’une eau brute à une autre, puisque l’hétérogénéité des particules n’est pas prise en compte dans le modèle.
Le rapport entre la turbidité et le nombre total de particules Nᵥ, pour les eaux traitées pendant l’étude pilote, est montré en figure 2. Il y a une infinité de répartitions de particules qui peuvent donner la même turbidité. Néanmoins, pour une eau donnée, il est clair que la valeur de l’un des paramètres (le nombre de particules, par exemple) peut être approximativement évaluée à partir de l’autre (turbidité). Ce fait a été exploité pour calculer l’efficacité des filtres au démarrage des cycles, dans le cas où un comptage de particules s’est avéré impossible à effectuer.
Tableau III — Mesures de comptage de particules en sortie de filtres
| TEMPS (heures) | Nombre de particules/ml | ||
|---|---|---|---|
| Filtre BCycle 1 | Filtre ACycle 2 | Filtre BCycle 3 | |
| 0 (calculé) | 3,17 × 10⁵ | 6,89 × 10⁵ | 9,89 × 10⁵ |
| 1 | 2,38 × 10⁵ | 6,04 × 10³ | 5,76 × 10⁴ |
| 3 | — | 4,48 × 10⁵ | 8,73 × 10⁵ |
| 5 | 7,82 × 10³ | — | — |
| 8 | — | 2,16 × 10⁵ | 4,51 × 10⁵ |
| 12 | — | 4,44 × 10⁵ | 5,71 × 10⁵ |
| 16 | 8,19 × 10³ | — | — |
| 23,5 | — | 5,59 × 10⁴ | 7,44 × 10⁴ |
Les premières mesures ont été effectuées après une heure de filtration, alors que les filtres produisaient déjà une eau de bonne qualité. Les mesures de comptage de particules pendant les deux cycles sont résumées dans le tableau III. Dans tous les cas, la crevaison des filtres a commencé 2 ou 3 heures après le début du cycle. Même après 20 heures de fonctionnement (les filtres étant en état de crevaison), plus de 80 % des particules présentes à l’entrée des filtres sont retenues par ces derniers. Cela signifie que le processus de dépôt des particules est un phénomène prépondérant. En conséquence, le calcul des pertes de charge, par le modèle proposé, reste valable.
Ce modèle a été calibré en utilisant les données du filtre A, lors du deuxième cycle. L’ensemble des données du deuxième cycle est plus complet, et donc plus fiable, pour une calibration et une validation du modèle. La turbidité, en sortie de filtre au début du cycle, est utilisée pour calculer l’efficacité du filtre à t = 0. Cette turbidité était approximativement 0,4 NTU. En utilisant le rapport entre la turbidité et la mesure de comptage de particules, cette turbidité correspondait à une élimination n/n₀ = 0,16 où n₀ est la concentration de particules présentes à l’entrée du filtre. À partir de cette élimination initiale, et en utilisant les formules de calcul de l’efficacité théorique pour un collecteur propre (formule 5), une valeur de 0,25 était calculée pour α. Les trois autres paramètres α₀, αₚ et β' ont été traités comme des paramètres variables dans la calibration. Une valeur de 0,8 a été choisie pour α₀ et β, et une valeur de 0,47 pour β'. La calibration de la concentration de particules en sortie est montrée sur la figure 3. La calibration du modèle doit être effectuée en utilisant seulement les points qui correspondent à une amélioration de la qualité de l’eau en sortie de filtre. Ainsi, le processus de dépôt des particules dans un filtre peut être modélisé. Les pertes de charge calculées à partir de la calibration sont présentées sur la figure 4. Les valeurs des coefficients obtenues par la calibration sont supérieures à celles qui ont été calculées (1,4). Si les valeurs de α₀, déterminées dans ces autres études sont en fait valables pour le pilote, une valeur élevée pour α₀ peut être interprétée comme une efficacité d’élimination qui est plus importante que celle calculée à partir d’une suspension monodispersée. Il est probable que les particules de gros diamètres augmentent l’élimination des particules plus petites. Dès que les grosses particules sont éliminées, elles agissent comme collecteurs, pour les petites particules : donc l’efficacité du collecteur est compensée, dans la calibration, par une valeur de αₚ plus importante.
Deux validations du modèle ont été réalisées avec les données qui n’ont pas été utilisées dans la calibration. Bien entendu, les valeurs de coefficients déterminées dans la calibration du modèle n’ont pas été changées. Dans un cas (le filtre B lors du deuxième cycle) la suspension de particules à l’entrée du filtre n’a pas changé par rapport à celle de la calibration, mais la vitesse de filtration a été plus élevée. Pour un changement de la vitesse de filtration, le modèle paraît capable de prédire les pertes de charge en fonction du temps (figure 5). La prévision de la concentration des particules en sortie de filtre est plus ou moins identique à celle de la calibration.
Une deuxième validation du modèle a été faite en utilisant les données du premier cycle, c’est-à-dire le filtre B, où la concentration des particules à l’entrée a été élevée par rapport à celle du deuxième cycle. Trois des caractéristiques du système sont donc différentes : la vitesse de filtration, la concentration de particules en suspension, et la taille de ces particules. La prévision des pertes de charge par le modèle est relativement bonne (figure 6). Ce-
pendant, il est peu probable que les paramètres de la calibration restent constants pour un changement important des caractéristiques de l’eau brute. Pour minimiser l’effet d’un changement de la répartition des particules dans l’eau brute sur les valeurs des coefficients de calibration, il faut rendre compte de l’hétérogénéité des tailles de particules en suspension.
Formulation d’un modèle pour la filtration d’une suspension hétérodispersée
On peut généraliser le concept d’un « collecteur » au cas d’une suspension hétérodispersée. Comme dans le cas de la suspension monodispersée, l’efficacité du collecteur à éliminer une particule de diamètre dₖ consiste en une initiation due au grain de masse filtrante, h₀(k). Une deuxième phase représente l’élimination des particules de diamètre dₖ par les particules déjà éliminées (ayant des diamètres dⱼ), et donc associées au collecteur. Il s’agit de suivre le nombre des particules éliminées pour chaque diamètre dₖ et de multiplier leur efficacité à éliminer des particules de diamètre dₖ par le nombre de particules de diamètre dⱼ déjà éliminées. Suivant cette logique on peut décrire l’efficacité d’un collecteur par rapport aux particules de diamètre dₖ :
ηᵥ(k) = αₘ₍ₖ₎ + Σ₍ⱼₖ₎ dⱼ² (15)
Il est probable que l’efficacité d’élimination est égale ou inférieure à 1 et l’on a donc :
0 < ηᵥ(k) < 1 ∀ i, k (16)
Il faut tenir compte du fait que seule une portion des particules éliminées par un collecteur sera disponible pour éliminer encore d’autres particules. Le coefficient ξ peut être redéfini comme la portion de la surface totale des particules qui sont associées au collecteur, laquelle ne peut contribuer à l’élimination d’autres particules.
On peut considérer que cette portion de la surface est partagée parmi les particules associées au collecteur, selon la portion de la surface totale que ces particules représentent :
Σ₍ⱼₖ₎ Nⱼ dⱼ² ξₖ = ─────────── (17) Σ Nⱼ dⱼ²
Ainsi, une expression de l’efficacité du collecteur peut être écrite :
ηᵥ(k) = αₘ₍ₖ₎ + ξₖ Σ Nᵢ dᵢₖ dᵢ² / dᵢ² (18)
Le changement en nombre de particules de diamètre dⱼ associées au collecteur par rapport au temps est :
dNₖ/dt = ξₖ ηᵥ(k) Nₖ dₖ² / dᵢ² (19)
Il en est de même dans le cas d’une suspension monodispersée où un bilan de masse sur les particules de diamètre dₖ nous donne :
∂nₖ/∂t + V₀ ∂nₖ/∂z + (3 (1 – f)/dᵢ²) V₀ ηᵥ₍ₖ₎(k) = 0 (20)
Le calcul des pertes de charge est effectué comme dans le cas monodispersé. Ce modèle évite la nécessité de donner une approximation du diamètre moyen des particules en suspension ; en outre, l’interaction entre des particules de différentes tailles est introduite dans le modèle de manière implicite.
Le modèle a été calibré avec les données présentées par O’Melia et Ali (9).
pour deux systèmes monodispersés. Ces deux systèmes sont représentés par les courbes « A » et « D » dans la figure 7. La courbe « A » a été créée à partir d’une suspension de particules de diamètre 0,1 µm à une concentration de 11 mg/l à l’entrée du filtre. Lorsque la concentration de particules est de 5,5 mg/l, les pertes de charge produites augmentent moins vite (courbe « C »). La courbe « D » représente une suspension de particules de 1,0 µm de diamètre à une concentration de 37,2 mg/l. À cause de leur taille relativement importante, ces particules ne produisent pas de pertes de charge considérables. Mais lorsqu’un mélange des particules de 0,1 µm et 1,0 µm est introduit à une concentration de 5,5 mg/l chacun, les pertes de charge augmentent à une vitesse plus rapide que celle prédite pour une estimation basée sur les systèmes monodispersés. La simulation indique que les grosses particules augmentent l’élimination des petites, et ainsi, produisent plus de perte de charge. Ces simulations aident à expliquer les valeurs élevées de ξ trouvées dans la calibration du modèle monodispersé. Il reste à calibrer et à valider ce modèle hétérodispersé.
Conclusion
L’évolution de la perte de charge sur un filtre pilote alimenté avec une suspension de particules hétérodispersées a été décrite en utilisant un modèle développé pour les suspensions monodispersées.
Un diamètre moyen a été utilisé pour caractériser la suspension hétérodispersée. Les valeurs des paramètres, déterminées au cours de la calibration du modèle, varient en fonction du diamètre moyen choisi pour représenter la suspension hétérodispersée. Ainsi la validation du modèle est limitée au seul cas où les caractéristiques de la suspension filtrée, et celles utilisées pour calibrer le modèle, sont identiques.
Un modèle pour l’élimination des particules dans les suspensions hétérodispersées par les filtres à profondeur a été présenté. Des simulations utilisant ce modèle mettent en évidence une augmentation de l’élimination des petites particules à cause de leur capture par de plus grandes qui se trouvent également dans la suspension hétérodispersée. Ces particules de plus grande taille sont plus facilement éliminées par la masse filtrante, et sont efficaces pour l’élimination des particules plus petites*
* Les références bibliographiques sont fournies par l’auteur aux lecteurs intéressés.
