Calcul du volume utile d'une bâche de pompage - Partie 2

Soit Tcycle le cycle fonctionnel d'une pompe et T*cycle le cycle fonctionnel de base correspondant à un temps d'arrêt suivi d’un temps de pompage. Si à chaque arrêt d’un groupe électropompe, on assure une permutation circulaire automatique dans l'ordre de démarrage de (n) pompes identiques, on vérifie aisément que :

Tcycle = n T*cycle

Par suite, les formules de base s’écrivent :

Vu = Qn · Tm / 4n   ou  Vu = 900 · Qn / nZ

et, en généralisant :

Vu1 = (Qn1 − Qhy1-1) · Tm1 / 4N   ou  Vu1 = (Qn1 − Qhn1) · 900 / nZ

avec Vu1 (m³) ; Tm1 (s) ; Qn1 (m³/s).

Représentation graphique : voir la figure 18.

Diagramme de sélection

Le diagramme de sélection proposé sur la figure 19 permet d’évaluer rapidement les volumes partiels. La ligne oblique en pointillé correspond à une base de calcul sur 10 démarrages horaires. Ce diagramme est établi pour :

V* = 0,9 Q* / Z   avec 0 < Q* < 10 l/s

Par suite, pour toutes valeurs Q multiples de Q*, le volume utile de bâche (V) sera donné par :

V (m³) = Q · V*

De même, dans le cas d'une permutation automatique de (n) pompes identiques, le volume correspondant sera donné par :

V (m³) = Q · V*

(1) La première partie de cet article est parue dans notre numéro 145 de mars 1991.

Calcul du volume de rétention en séquence opérationnelle n° III

Nous avons vu que, dans cette séquence opérationnelle, les groupes électropompes démarrent en cascade, puis continuent à fonctionner jusqu’à ce que soit atteint le niveau d’arrêt commun bas. La méthode de calcul est la même que précédemment, mais les équations sont plus compliquées.

Notations

(i) désigne un indice variant de 1 à k.

q débit d’apport moyen à la station, supposé constant sur un cycle de pompage,
Qn débit moyen d’appoint assuré par la iᵉ pompe en fonctionnement,
Vn volume partiel de rétention supplémentaire (figure 20).

Par suite, Qn désigne le débit moyen assuré par la pompe Pn seule, en fonctionnement sur le réseau, et (Qn + Qn) désigne le débit moyen assuré par les pompes Pn et Pn en parallèle sur le réseau, etc. (figure 21).

De même, Vn désigne le volume de rétention affecté au fonctionnement de la pompe Pn, et (Vn + Vn) désigne le volume de rétention nécessaire au fonctionnement des pompes Pn et Pn, etc.

Cycle fonctionnel

Établissons, tout d’abord, l’équation du cycle fonctionnel pour un système de deux pompes.

Qn < q < Qn + Qn

Tcycle = Tarrêt + Tpompage = Tz

avec

Tarrêt   = Vn / (q − Qn)

Tpompage = (Vn + Vn) / (Qn + Qn − q)

Si nous généralisons cette équation pour un système de (k) pompes, nous obtenons :

\[ \sum_{i=1}^{k} 0 < q < \sum_{i=1}^{k} Q_i \]

\[ T_{\text{remp.}} = \frac{V_1}{q + Q_1} + \frac{V_2}{q + (Q_1 + Q_2)} + \dots + \frac{V_k}{q - \sum_{j=1}^{k} Q_j} \]

\[ T_{\text{pompage}} = \frac{V_t + V_1 + V_2 + \dots + V_k}{\sum_{j=1}^{k} Q_j - q} \]

On note que

\[ \sum_{j=1}^{k} V_j = V_t + \sum_{j=1}^{k} V_j \quad \text{et} \quad \sum_{j=1}^{k} Q_j = Q_a + \sum_{j=1}^{k} Q_j \]

Si l’on pose

\[ F_k = q - \sum_{j=1}^{k} Q_j \]

L’équation du cycle fonctionnel s’écrit sous forme généralisée :

\[ T_i = \frac{V_k}{F_k} + \sum_{j=1}^{k-1} \frac{V_j}{Q_a - F_k} \]

Dans le cas de la séquence opérationnelle n° III, le problème est légèrement différent dans la mesure où le calcul d’un volume dépend du calcul des volumes précédents qui, eux-mêmes, dépendent du calcul du 1ᵉʳ volume ; soit :

\[ V_x = f(V_{x-1}, V_0,\dots ; Q_x, Q_0,\dots ; Q_1 ; T_i) \]

Si nous revenons à l’équation du cycle fonctionnel, on constate que T_i et V_x sont inversement proportionnels, c’est-à-dire que rechercher la valeur minimum de T_i conduit à rechercher la valeur maximum de V_x.

On note par ailleurs que

\[ \sum_{j=1}^{k} \frac{V_j}{Q_a - F_k} = \frac{V_x}{Q_a - F_k} + \sum_{j=1}^{k-1} \frac{V_j}{Q_a - F_k} \]

de même

\[ \frac{V_x}{F_k} = \frac{V_x}{Q_a - F_k}\,F_k(Q_a - F_k) \]

L’équation généralisée du cycle (T_i), résolue suivant V_x, s’écrit alors :

\[ V_x = \frac{F_k}{Q_a - F_k} \left[ T_i - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{V_j}{Q_a - F_k} \right] \]

On peut transformer l’équation précédente pour la mettre sous forme adimensionnelle, en posant :

\[ \alpha_x = \frac{Q_a}{Q_1}, \quad v_x = \frac{V_x}{V_1}, \quad f_k = \frac{F_k}{Q_1}, \quad t_k = \frac{Q_1}{V_1}\,T_k \]

En remarquant que

\[ V_1 = \frac{Q_1 T_1}{4} \iff T_1 = \frac{4V_1}{Q_1} \]

nous aurons alors

\[ V_x = v_x \, V_1 = v_x \left( \frac{Q_1 T_1}{4} \right) \]

Détermination des coefficients de volume

La méthode que nous avons utilisée jusqu’ici consistait, en fait, à rechercher la valeur minimum de la fonction T_{cycl.} atteinte pour une valeur particulière du débit d’apport, que nous avons appelée débit critique (Q_{cr}) ; soit, en fait, résoudre l’équation :

\[ \frac{d}{dq} (T_i) = 0, \quad \text{pour obtenir } Q_{cr}. \]

Nous aurons alors

\[ V_x = v_x \, V_1 = v_x \frac{Q_1 T_1}{4} \]

k = 1 : \( v_x = 4 f_1 (1 - f_1) \) avec \( v_x = 1 \) et \( q_x = 1 \)

k = 2 : \( v_x = f_2 (1 - f_1) \left[ 4 - \frac{1}{1 + \frac{1}{q_x}\left(\frac{1}{v_x}\right)} \right] \)

k = 3 : \( v_x = f_3 (1 - f_1) \left[ 4 - \frac{2}{1 + \frac{1}{q_x}\left(\frac{1}{v_x}\right)} \right] \)

k = 4 : \( v_x = f_4 (1 - f_1) \left[ 4 + v_x\left(\frac{1}{Q_x}\right) - \frac{2}{1 + \frac{1}{q_x}\left(\frac{1}{v_x}\right)} \right] \)

k = 5 : \( v_x = f_5 (1 - f_1) \left[ 4 - 5 + v_x\left(\frac{1 - f_1}{Q_x}\right) \right] \)

etc…

en recherchant, pour tᵢ donné, la valeur maximum v*, de la fonction vᵢ, correspondant à une valeur particulière de fᵢ.

Ainsi, suivant le nombre de pompes opérationnelles, les coefficients de volume partiels seront définis par la valeur maximum des fonctions portées sur la figure 23.

Cas particulier

Nous pouvons fixer un premier paramètre, en considérant que les cycles fonctionnels tᵢ sont identiques ; par suite : t₁ = t₂ = … = tₖ = τ_c ;

puis, fixer un deuxième paramètre, en considérant que les débits additionnels (qᵢ) sont eux aussi égaux ; c’est-à-dire : q₁ = q₂ = … = qₖ = 1,

ce qui revient à considérer un système comprenant k pompes identiques fonctionnant sur un réseau sans pertes de charge (ou suffisamment faibles pour que l’on puisse admettre un même débit moyen unitaire) (figure 24).

Par suite, il suffit de rechercher les valeurs maximum des fonctions portées sur la figure 25, ce qui est représenté sur la figure 26.

Ce qui, sous une forme plus pratique, peut être donné par le tableau suivant :

v*, que nous appellerons « coefficient de volume partiel », est alors donné par l’équation :

v* = Σ Vᵢ / [ q_k (a_k – f_k) t_k + Σ Vᵢ ]

avec Vᵢ = v*ᵢ V_t et V_t = Q_m (T_min) / 4.

Cas général

Dans la majorité de nos applications, les débits moyens d’appoint (Qᵢ) ne peuvent pas être considérés comme étant égaux, conséquence de pertes de charge sur le réseau, ou tout simplement parce que les pompes ne sont pas identiques ; on peut cependant admettre des cycles fonctionnels identiques (t₁ = t₂ = … = tₖ = τ_c).

[Figure 34 : Débit critique – Séquence 3, sans permutation automatique]

[Figure 35]

[Figure 36]

Les coefficients de volumes partiels sont alors donnés par la figure 27.

Résolution graphique

Le coefficient de volume partiel v i est fonction de (f i, q i). La connaissance des valeurs maximum de v i(max) pour différentes valeurs de q i permet de tracer les deux courbes particulières v i* = f(q i) et f i = f(q i), portées sur la figure 28.

La fonction v s comporte un paramètre supplémentaire : q s, soit v s = f(q z, q g, f s). Cette fois-ci, la connaissance des valeurs v s(max) et v i(max) pour différentes valeurs de q s et de q g permet de tracer deux familles de courbes particulières v s* = f(q s, q g) et f s = f(q z, q g), portées sur la figure 29.

En ce qui concerne la fonction v t et les autres, la seule méthode consiste à tracer la courbe v t = f(f), les paramètres précédents étant fixes (figure 30).

Diagrammes de sélection

Rappelons la procédure :

Le volume de base V b est donné par la relation V b = Q tmin / 4.

Les volumes partiels V i sont liés à V b par la relation : V i = v i* V b.

Les diagrammes ci-après permettent une lecture directe de v i* et de v s* ainsi que des coefficients de débits critiques correspondants (f i,crit) et (f s,crit). Les débits critiques, quant à eux, sont évalués par la relation :

Q crit = f 0 Q 1 + Σ Q i.

Les diagrammes de sélection pour deux pompes sont représentés sur les figures 31 et 32.

Les diagrammes de sélection pour trois pompes sont représentés sur les figures 33 et 34.

Cycles de pompage avec permutation automatique circulaire

Si, à chaque arrêt des groupes électropompes, on assure une permutation circulaire automatique dans l’ordre de démarrage de n pompes identiques, on vérifie que :

T k = n / k · T cycle.

La figure 35 donne l’exemple de trois pompes en permutation circulaire automatique.

Détermination des coefficients de volumes partiels

Dans le cas d’un fonctionnement avec permutation circulaire automatique, les cycles fonctionnels sont identiques : t 1 = t 2 = … = t n.

Soit n le nombre des pompes en permutation ; le volume de base V b est donné parV b = Q tmin / 4n, avec t min = T 1 = T 2 = … = T n.

Les volumes partiels V i sont liés à V b par la relation : V i = v i* V b.

Et les coefficients de volumes partiels sont donnés par la formule ci-contre.

[Figure 37]

[Figure 38]

[Figure 39]

[Figure 40]

avec v*_n = max (v_n).

L'application à un système de deux pompes en permutation automatique est portée sur la figure 36.

L'application à un système de trois pompes en permutation automatique est portée sur la figure 37.

Conclusion : le coefficient de volume partiel v*_n est indépendant du nombre de pompes (n) en permutation circulaire ; seul, le volume de base V_n en dépend.

Les volumes de bâche et les débits critiques sont portés sur les figures 38 à 41.

Cas particulier

Si nous considérons le cas particulier déjà envisagé ci-dessus dans la détermination des coefficients de volume, c’est-à-dire un système comprenant plusieurs pompes identiques fonctionnant sur un réseau sous ou avec de faibles pertes de charge, il est intéressant de noter les valeurs particulières des coefficients de débit partiels : avec t_c = t_{s.u.s} = 4, q_1 = q_m, q_n = 1 et n pompes fonctionnant en permutation circulaire automatique ; nous obtenons les valeurs pratiques suivantes, extraites de la figure 42 (avec V_n = v*_n · V_1).

Quelle réduction peut-on apporter au volume utile de bâche ?

Nous avons défini trois séquences opérationnelles avec ou sans permutation automatique. Il est maintenant intéressant de comparer les résultats en ce qui concerne les volumes utiles de rétention, et faisons-le à partir de quelques applications numériques en prenant, par exemple, un système comprenant trois pompes identiques fonctionnant sur un réseau plus ou moins dissipatif (figure 43).

En prenant pour référence la séquence 2, sans permutation automatique, où les volumes partiels sont simplement superposés (V_T = 3 V_1 = 81 m³), le diagramme porté sur la figure 44 montre quelle réduction on peut apporter au volume de rétention.

Nota — La formule portée sur la figure 4 de la 1ʳᵉ partie de cet article (p. 29 de notre n° d’avril 1991) doit se lire comme suit :

Q_m = 2/3 (Q_a + Q_b + Q_c + Q_d) / (Q_a + …

BIBLIOGRAPHIE

G. GOLDSCHMIDT, Wett wells for multipump systems.

G. ROCHE, Stations de pompage, TSM 1975.

Y. HALLAND, Cyclical running alternation of several pumps of the same size in parallel operation, FLYGHT AB, 1978.